„Goli statistike” - najzanimljivija knjiga o najdosadniji znanosti

Zagonetka Monty Hall

„Riddle od Monty Hall” - poznati problem teorije vjerojatnosti, da posrami sudionike game show pod nazivom Idemo Nagoditi ( «nagoditi"), je još uvijek popularan u nekim zemljama, koji je premijerno u SAD-u 1963 godine. (Sjećam se, svaki put kad sam gledao ovaj show kao dijete, kad ne idu u školu zbog bolesti.) U uvodu knjige, već sam naglasio da je u ovom kvizu može biti zanimljivo za statističari. Na kraju svog objavljivanja stranke do finala, postaje s Monti dvorani prije tri velika vrata: № 1, vrata 2 i vrata № № 3. Monty Hall objasnio finalista, što je vrlo vrijedna nagrada skrivena iza jednog od tih vrata - kao što je novi automobil, ali za druga dva - koze. Finalist je morao odabrati jedan od vrata i dobiti ono što je iza njega. (Ne znam da li postoji među sudionicima showa najmanje jedna osoba koja želi dobiti kozu, ali radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da je velika većina sudionika sanjao novi automobil.)

Početni Vjerojatnost pobjede je vrlo lako odrediti. Postoje tri vrata, s dva koze krzna, a za treći - automobil. Kada sudionici u emisiji uz Monty Hall stoji ispred tih vrata, on ima jednu priliku u tri izabrati vrata, iza kojih je automobil. Ali, kao što je gore navedeno, Učinimo Deal laži trik, ovjekovječio TV emisiju i svoje vodstvo u literaturi o teoriji vjerojatnosti. Nakon finalista showa će ukazati na neke od triju vrata, Monty Hall otvara jedan od dva preostala vrata, iza kojih je uvijek koza. Zatim Monty Hall pita finalist, ako želi da se predomisli, to jest, da napuste prethodno odabrani im zatvorena vrata da zatvori jedna vrata.

Recimo, na primjer, da je korisnik unio broj na vratima 1. Monty Hall zatim otvorio broj vrata 3, iza kojih kozu. Dvoja vrata, vrata broj 1 i broj 2 ostaci vrata zatvorena kao i prije. Ako je nagrada iza niza vrata 1, finalist bi ga osvojio, ali ako se za vrata broj 2, bio bi izgubljen. Bilo je to u ovom trenutku Monty Hall se odnosi na igrača s pitanjem da li želi promijeniti svoj početni izbor (u ovom slučaju odbiti Doors broj 1 u korist vrata broj 2). Naravno da ne zaboravite da su oba vrata zatvorena do. Jedina nova informacija da je sudionik dobio je, da je klinac stoji iza jedne od dviju vrata, koja nije izabrali.

Da li finalist treba napustiti u korist prvog izbora Doors broj 2?

Odgovor je: da, to bi trebalo. Ako će se držati izvornog izbor, vjerojatnosti dobitka im vrijednu nagradu će biti ⅓; ako ne promijeni mišljenje i da će ukazati na broj vrata 2, vjerojatnost osvajanja vrijednih nagrada će biti ⅔. Ako mi ne vjerujete, čitajte dalje.

Priznajem da je takav odgovor na prvi pogled daleko od očigledan. Čini se da je, bez obzira na druga dva vrata su izabrali finalist, vjerojatnost vrijedne nagrade u oba slučaja jednaka ⅓. Postoje tri zatvorena vrata. U početku, vjerojatnost da nagrada je skriveno iza svih njih je ⅓. Je li je odluka vrijednost finalist promijeniti svoj izbor u korist drugog zatvorenih vrata?

Naravno, budući da je trzaj je da je Monty Hall zna što je iza svakih vrata. Ako je finalist odabere broj vrata 1, i to će zaista biti automobil, Monty Hall može otvoriti bilo koji broj vrata 2 ili broj 3 vrata, pokazati kozu, skrivajući se iza njega.

Ako je finalist odabere broj vrata 1, a automobil će biti iza vrata broj 2, Monty Hall otvara niz vrata 3.

Ako je finalist će naznačiti broj vrata 1, a automobil će biti iza broja vrata 3, Monty Hall otvara vrata broj 2.

On predomislio nakon vodećeg otvoriti neke od vrata, finalist dobiva prednost odabira dvaju vrata umjesto jednog. Ja ću pokušati uvjeriti u ispravnost ove analize na tri različita načina.

Prvi - empirijski. U 2008. godini, kolumnist lista The New York Times, Ivan Tayerni pisani materijal o „fenomenu Monty Hall”. Nakon što je objavljivanje osoblje razvio interaktivni program koji vam omogućuje da igraju ovu igru ​​i odlučite za sebe, mijenjati svoj izvorni izbor ili ne. (Program pruža i malo koze i avtomobilchiki koji se pojavljuju iza vrata.) Program Ona snima svoj dobitak kada promijenite svoj početni izbor, a kada je napustio na vlastitu mišljenje. Platio sam jedan od njegovih kćeri za nju da igraju ovu igru ​​100 puta, svaki put mijenja početni izbor. Također sam platio njezin brat, tako da je i on je igrao ovu igru ​​100 puta, svaki put ostavljajući izvornu odluku. Kći je osvojio 72 puta; njezin brat - 33 puta. Napori su bili nagrađeni svaka dva dolara.

Te epizode igre Učinimo Deal pokazuju isti obrazac. Prema Leonard Mlodinovu, autor pijanica Stazi, te finalista koji je promijenio njegov početni izbor pobjednika je oko dva puta veću vjerojatnost od onih koji su ostali na svojim mišljenje.

Moj drugi objašnjenje ovog fenomena temelji se na intuiciji. Recimo da pravila igre su se promijenila malo. Na primjer, finalist počinje s odabirom jednog od triju vrata: Vrata № 1 № vrata Vrata № 2 i 3, kao što je prvobitno određeno. Ali onda, prije nego što otvorite neki od vrata, iza koje se krije kozu, Monty Hall pita: „Da li se slažete da se odreći svog Izbor u zamjenu za otvaranje preostala dvoja vrata? „Dakle, ako se odlučite broj vrata 1, možete promijeniti svoj um u korist broj 2 vrata i vrata broj 3. Ako prve točke na broj vrata 3, možete odabrati broj vrata 1 i broj 2 vrata. I tako dalje.

Za vas, to ne bi bilo osobito tešku odluku: očito je da treba odbiti početni izbor u korist druge dvoja vrata, jer to povećava šanse za pobjedu sa ⅓ da ⅔. Najzanimljivija je da je u biti verzija Monty Hall nudi pravi igra, nakon otvorenim vratima, iza kojih se krije kozu. Temeljna činjenica je da ako su imali priliku da izaberu dva vrata, iza jednog od njih, u svakom slučaju, biti krije kozu. Kada Monty Hall otvara vrata, iza kojih postoji koza, a tek onda vas pita Slažete li promijeniti svoj početni izbor, to znatno povećava svoje šanse za osvajanje vrijednih nagrada! U stvari, Monty Hall vam kaže: „Vjerojatnost da će nagrada se krije iza jednog od dvaju vrata, da niste odabrali prvi put je ⅔, ali to je još uvijek više od ⅓!»

To se može prikazati na sljedeći način. Recimo da ste pokazali broj vrata 1. Nakon toga Monty Hall vam daje priliku da napuste izvornu odluku u korist vrata broj 2 i broj 3 vrata. Slažete i imaju na raspolaganju dva vrata, što znači da imaju svako pravo očekivati ​​osvojiti vrijednu nagradu s vjerojatnošću ⅔, nego ⅓. Što će se dogoditi ako, u tom trenutku, Monty Hall je otvorio Broj vrata 3 - jednog od „svoje” vrata - i ispostavilo se da je koza? bi se tresti na činjenicu da Vaše povjerenje u odluke? Naravno, nije. Ako je automobil skriven iza vrata broj tri, Monty Hall bi otvorio broj vrata 2! Nije vam pokazati ništa.

Kada je igra na nakatannomu scenariju, Monty Hall zapravo vam daje izbor između vrata, ste naveli na početku, a preostala dva vrata, iza kojih jedan može biti automobil. Kada Monty Hall otvara vrata, iza kojih kozu, to samo ti pruža milost pokazujući, za koji od druga dva vrata nemam auto. Imate istu vjerojatnost za pobjedu u oba sljedeća scenarija.

1. Odabir broj vrata 1, zatim pristanak „prekidač” na ulazu broj 2 i broj 3 vrata prije nego što oboje će otvoriti bilo vrata.
2. Odabir broj vrata 1, zatim pristanak „prekidač” na ulazu broj 2, nakon što je Monty Hall vam pokazati koza na broj vrata 3 (ili odaberite vrata broj 3, nakon što je Monty Hall vam pokazati kozu iza broja vrata 2).

U oba slučaja, odbijanje početnu otopinu pruža vam korist od dvoja vrata, u usporedbi s jednom van i da na taj način može udvostručiti svoje šanse za pobjedu: s ⅓ da ⅔.

Treća realizacija mi predstavlja radikal više verzija istog osnovnog intuicije. Pretpostavimo da je Monty Hall nudi vam da izaberete jednu od 100 vrata (umjesto jednog od tri). Kada to učinite, recimo, pokazujući na vrata broj 47, ona otvara preostalih 98 vrata, iza kojih su koze. Sada zatvorena vrata su samo dvije: vaša vrata broj 47, a drugi, na primjer, vrata broj 61. Ukoliko napustiti svoj početni izbor?

Naravno da! Sa 99 posto vjerojatnosti da je automobil iza jednog od vrata, koja se odlučite na početku. Monty Hall vam je dao milost otvaranjem 98 takvih vrata, automobil nije bio za njih. Dakle, postoji samo jedan u 100 prilika da izvorni izbor (vrata broj 47) će biti točna. U isto vrijeme postoji 99 od 100 šansa da je vaš prvi izbor nije u redu. Ako je tako, onda je auto iza preostalih vrata, onda je broj vrata 61. Ako želite igrati s priliku za osvajanje 99 puta od 100, onda trebate „prebaciti” na vrata broj 61.

Ukratko, ako ste ikada imati sudjelovati u Učinimo Deal igra, svakako je potrebno dati od svoje početne odluke kada Monty Hall (ili onaj koji će biti njegov zamjenik) pružit će vam priliku da izbor. Više univerzalni zaključak iz ovog primjera je da je vaša intuicija o vjerojatnosti pojave određenih događaja ponekad može vas dovesti u zabludu.

„Goli Statistika” Charles Whelan

Kupi na Litres.ru