“Jednadžbe matematičke fizike” - tečaj 2800 rub. iz MSU, obuka 15 tjedana. (4 mjeseca), Datum: 30.11.2023.

Miscelanea / by admin / December 02, 2023

click fraud protection

Tečaj je namijenjen prvostupnicima, magistrima i specijalistima matematičkih, tehničkih ili prirodnih znanosti, kao i sveučilišnim nastavnicima. Svrha kolegija je upoznati studenta s nizom klasičnih pitanja iz područja jednadžbi s matematičkom fizikom te naučiti studenta osnovnim metodama proučavanja takvih jednadžbi. Kolegij pokriva klasično gradivo o jednadžbama matematičke fizike (parcijalnim diferencijalnim jednadžbama) unutar jednog semestra studija. Odjeljci “Linearne i kvazilinearne jednadžbe prvog reda”, “Klasifikacija linearnih jednadžbi”, “Valna jednadžba”, “Parabolična jednadžba”, “Temeljna rješenja”, “Laplaceova jednadžba” Upoznat ćemo se s klasičnim formulacijama problema - Cauchyjev problem, granični problem. Ovladajmo osnovnim metodama proučavanja jednadžbi – izravnom integracijom, metodom nastavka rješenja, Fourierovom metodom, metodom fundamentalnih rješenja, metodom potencijala. Često ćemo se prisjetiti izvođenja ovih jednadžbi u problemima matematičke fizike i granica primjenjivosti naših modela.

instagram viewer

Oblik studija
Dopisni tečajevi koji koriste tehnologije učenja na daljinu

Uvjeti upisa
Dostupnost VO ili SPO

Savčuk Artem Markovič

tečaj

Doktor fizikalnih i matematičkih znanosti, profesor Pozicija: profesor Odsjeka za temeljnu i primijenjenu matematiku Fakulteta za svemirska istraživanja Moskovskog državnog sveučilišta nazvanog po M. V. Lomonosovu

1. Prvi sastanak.
Uvodna riječ. Osnovni principi rada s jednadžbama matematičke fizike. Primjeri jednostavnih jednadžbi. Klasifikacija. Rješavanje jednostavnih jednadžbi svođenjem na obične diferencijalne jednadžbe. Zamjena varijabli u jednadžbi.

2. Jednadžbe prvog reda – linearne i kvazilinearne.
Linearne jednadžbe. Pronalaženje odgovarajuće zamjene - sastavljanje i rješavanje sustava običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Prvi integrali sustava. Karakteristike. Kvazilinearne jednadžbe. Traženje rješenja u implicitnom obliku.

3. Cauchyjev problem. Klasifikacija linearnih jednadžbi drugog reda.
Postavka Cauchyjevog problema. Teorem o postojanju i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema. Klasifikacija linearnih jednadžbi drugog reda s konstantnim koeficijentima. Svođenje na kanonski oblik.

4. Hiperboličke, parabolične i eliptične jednadžbe.
Klasifikacija linearnih jednadžbi drugog reda s promjenjivim koeficijentima na ravnini. Hiperbolični, parabolični i eliptični tip. Rješavanje hiperboličkih jednadžbi. Problemi s početnim i rubnim uvjetima.

5. Jednadžba niza.
Jednodimenzionalna valna jednadžba na cijeloj osi. Val naprijed i natrag. d'Alembertova formula. Duhamelov integral. Rubni uvjeti za jednadžbu na poluosi. Osnovne vrste rubnih uvjeta. Nastavak rješenja. Slučaj konačnog segmenta.

6. Fourierova metoda na primjeru jednadžbe niza.
Ideja Fourierove metode. Prvi korak je pronaći osnovu. Drugi korak je dobivanje običnih diferencijalnih jednadžbi za Fourierove koeficijente. Treći korak je uzimanje u obzir početnih podataka. Konvergencija nizova.

7. Jednadžba difuzije (konačni segment).
Derivacija jednadžbe. Postavka problema (početni i rubni uvjeti). Fourierova metoda. Uzimajući u obzir desnu stranu i nehomogenost u rubnim uvjetima. Konvergencija nizova.

8. Jednadžba difuzije (cijela os).
Fourierova transformacija, formula inverzije. Rješavanje jednadžbe pomoću Fourierove transformacije. Teorem – opravdanje metode (dva slučaja). Poissonova formula. Slučaj jednadžbe s desnom stranom.

9. Generalizirane funkcije.
Zapisivanje Poissonove formule kao konvolucije. Snimanje u obliku konvolucije rješenja toplinske jednadžbe na konačnom segmentu. Schwartz klasa. Primjeri funkcija iz razreda. Definicija generaliziranih funkcija, veza s klasičnim funkcijama. Množenje generalizirane funkcije osnovnom funkcijom, diferenciranje. Konvergencija generaliziranih funkcija. Primjeri generičkih funkcija.

10. Rad s generičkim funkcijama.
Rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi u generaliziranim funkcijama. Fourierova transformacija generaliziranih funkcija. Konvolucija. Izravni proizvod. Nositelj generalizirane funkcije. Rješavanje nehomogene jednodimenzionalne toplinske jednadžbe temeljnim rješenjem. Fundamentalno rješenje običnog diferencijalnog operatora na intervalu.

11. Temeljna rješenja.
Derivacija Poissonove formule za višedimenzionalnu toplinsku jednadžbu. Izvođenje Kirkhoffove formule. Derivacija Poissonove formule za valnu jednadžbu. Rješavanje zadataka metodom razdvajanja varijabli, metodom superpozicije.

12. Laplaceova jednadžba.
Izvođenje Laplaceove jednadžbe. Vektorsko polje – potencijal, strujanje kroz površinu. Volumen potencijal. Potencijal jednostavnog sloja. Potencijal dvostrukog sloja. Logaritamski potencijal.

13. Dirichletov problem, Neumannov problem i Greenova funkcija.
Harmonijske funkcije. Načelo slabog ekstrema. Harnackov teorem. Načelo strogog maksimuma. Teorem o jedinstvenosti. Teorem o srednjoj vrijednosti. Beskrajna glatkoća. Liouvilleov teorem. Greenova formula. Greenova funkcija, njena svojstva. Rješenje Poissonovog problema s Dirichletovim uvjetima korištenjem Greenove funkcije. Ostali problemi rubnih vrijednosti. Konstrukcija Greenove funkcije metodom refleksije.

14.Višedimenzionalna Fourierova metoda.
Rješavanje problema Fourierovom metodom. Razni rubni uvjeti. Besselove funkcije. Legendreov polinom. Pregled odslušanog tečaja. Sažimajući.

Tagovi oblak

Miscelanea

Ocjena

Posjeta

Komentari